El número de oro

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Profesoras de Matematicas

jueves, 25 de junio de 2009

Presentación

En este blog daremos a conocer el número áureo de una forma completa, ya que lo veremos desde su comienzo hasta la actualidad. Pretendemos conseguir el acercamiento de los alumnos a éste tema a través de las peculiaridades que cumplió y cumple éste número de proporciones divinas.

El Blog contendrá:

1. Una reseña histórica
2. Construcción del número de oro
3. El número en la Naturaleza
4. En el Arte y la Arquitectura
5. En el ser Humano
6. En el Espacio
7. Actividades http://veromg87.blogspot.com/search?updated-max=2009-06-24T00%3A49%3A00-03%3A00&max-results=7
Reseña Histórica



Se creia que los Babilonios en el 2000 a.C. ya conocían el número de oro sin embargo, el primero en realizar un estudio formal al respecto fue Euclides, quien lo definió en Los Elementos como;

"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."
Él mismo demostró también que éste número debía ser irracional.
En 1509 el matemático Luca Pacioli en su libro “La Proporcion Divina” publica cinco motivos por los cuales él considera divino al Número de oro;
1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicodad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmesurabilidad del número áureo, y la inconmesurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
[1]
En 1525 Alberto Durero describe como trazar la espiral de la sección aurea con regla y compas, que se conoce como “espiral de Durero”.
Antiguamente el número de oro se representaba con la letra r que proviene del griego τομή que significa corte o sección, pero en 1900 se cambio la denominación por la letra Φ (fi) en honor a Fidias porque usaba en sus esculturas la proporción aurea.




[1] Extraido de www. wikipedia.org
Concepto del número

Para obtener el numero áureo en un cuadrado se traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número áureo.






Segun la tradición, la estrella pentagonal era el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde solo tenía cabida los números fraccionarios.
Para ver la proporción aurea en el pentágono basta con construir un pentágono ABCDE, trazar la línea AD y otra BE que se cruzan en F, si BF es igual a uno, BE es igual a Phi.



Imagen (1)


Podemos también construir la proporción aurea a través de la "Sucesión de Fibonacci". Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Los cocientes entre dos números de la sucesión consecutivos, se van aproximando más y más al número de oro (1,61803...).

En la Naturaleza

Podemos encontrar al número de oro en varios seres de la naturaleza, como los caracoles, en las plantas, los animales, entre otros.

Phi en las proporciones morfológicas de una abeja

Imagen (2)

La medida del abdomen de la abeja dividida por phi es igual a la medida de su tórax y a su vez la medida del tórax dividida por phi es igual a la medida de su cabeza.
Tambien el número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión al número áureo.

Phi en la espiral de la concha de un nautilo

Imagen (3)

De un rectángulo Áureo ABCD extraemos el cuadrado AEFD nos queda otro rectángulo áureo EBCF, a este le extraemos el cuadrado EBHG tenemos otro rectángulo áureo GHCF y así podríamos seguir hasta el infinito...
Si a partir de estos cuadrados resultantes trazamos una curva que empieza por D hasta E con centro F después de E con centro G hasta H, aquí también podríamos seguir hasta el infinito, conseguimos una espiral logarítmica que se puede encontrar en la naturaleza en plantas y animales, como en la concha de los nautilos.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética).


Phi en las temperaturas corporales de los animales

imagen (4)

Si suponemos que la distancia desde 0° (temperatura de hielo del agua) hasta 100° (temperatura de ebullición del agua) es igual a Phi (≈1,618).
Una unidad partiendo desde 0° seria aproximadamente 62° que es la temperatura límite de la vida, la temperatura mínima necesaria para matar las bacterias. La pasteurización se puede realizar a 62° en media hora.
Una unidad partiendo desde 100° en dirección a 0° seria 38° que es la temperatura proximada de los mamíferos. La temperatura normal del hombre esta alrededor de 37° pero en cambio para los gatos o los perros esta alrededor de 39°. La media de los mamíferos esta muy cercana a los 38°.
100/Φ ≈ 61,8 ≈ temperatura limite de la vida.
100 - [100/Φ] ≈ 38,2 ≈ temperatura de los mamíferos.
No solamente en los animales y en su genealogía encontramos tanto el número áureo como a la sucesión de Fibonacci, sino que también los podemos encontrar tanto en plantas como en frutos.
Podemos notar que en algunas flores nos encontramos con ciertos términos de la serie de Fibonacci, esto es; el lirio, tiene tres pétalos, algunos ranúnculos 5 o 8, las margaritas y girasoles pueden llegar a tener 13, 21, 34, 55 y hasta 89 pétalos.



Phi en las espirales de una piña de pino



Imagen (5)


Lo mismo ocurre con las piñas de los pinos, tenemos dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci : 8 y 13.


Arte y la Arquitectura


Tanto los egipcios como los griegos utilizaron el número de oro para la construcción de edificios y en su arte.

El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C..
imagen (6)

El Partenón

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
Imagen (7)

En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA= .

Imagen (8)

La torre Eiffel guarda las proporciones de Phi.

Imagen (9)


Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre:
100 x Φ x 2 ≈ 323,61 metros.
También se encuentra en las diferentes partes de la torre, vea el dibujo donde el espacio azul seria igual a uno y Phi seria el espacio azul más el dorado.


La gioconda
Imagen (10)

Construcción fase por fase del mapa áureo del rostro de Mona Lisa






Imagen (11)

En el primer cuadro podemos ver como el rostro de la Gioconda se encuadra perfectamente en un rectángulo áureo.


Dentro de ese rectángulo áureo dibujamos un cuadrado en el segundo cuadro quedando arriba otro rectángulo áureo.
En el tercer y cuarto cuadro realizamos la misma operación que para el segundo.
Para el quinto cuadro trasladamos simétricamente según la línea que pasa justo encima de los ojos el cuadrado grande de arriba y el último rectángulo áureo obtenido.
Se puede ver que la línea que sale exactamente del nacimiento del pelo (justo en la raya del pelo) pasa por la mitad de la nariz y termina en la mitad de donde empieza la boca de Mona Lisa.
Sucesivamente se realiza la misma operación para los cuadros finales, observando por ultimo que el útimo rectángulo parte de la nariz y va hasta el ojo derecho.
En el Hombre




Leonardo Da Vinci ilustró la proporción diniva que había establecido el matemático Luca Pacioli en 1509. Pacioli describe un hombre perfecto de manera que sus proporciones sean como las de este dibujo;

Imagen (12)


Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo. Asi como la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.

miércoles, 24 de junio de 2009

En el espacio


Encontramos la proporción áurea en la distancia de los diferentes planetas del sistema solar al sol.


Imagen (13)

Las Imagenes (1) (2) (3) (4) (5) (9) (10) (11) (12) (13) son extraidas de la página web; www.castor.es

Las (6) (7) (8) son extraidas de la página www.juntadeandalucia.es